Tip:
Highlight text to annotate it
X
Csináljunk még néhány példát.
Vegyünk egy másik példát.
Legyen a határértéke -- ahogy az x tart a 3-hoz --
az x négyzet, mínusz 6x meg kilenc, per x négyzet mínusz 9-nek.
Az első dolog mit szeretek megcsinálni, ha ilyen határérték feladatot látok,
hogy behelyettesítem a számot,
majd megnézem, hogy valami értelmes sül-e ki belőle,
ha igen, akkor készen is vagyunk.
Általában ilyenkor készen vagyunk.
De nem akarok ilyen általánosító kijelentést tenni,
ha a függvény folytonos, akkor vagyunk csak kész.
De ha behelyettesítjük a 3-at a számlálóba, akkor 3 a négyzeten,
ami 9, mínusz 18, meg 9 lesz.
Ez pedig 0.
És akkor a nevezőben is -- lássuk csak -- 3 a négyzeten,
mínusz 9, szintén egyenlő 0-val.
Nem szeretjük, ha 0/0 az eredmény.
A tollam megint nem működik rendesen.
Nem szeretünk nullát kapni, 0, 0, van-e lehetőség
egyszerűsíteni a kifejezést olyan formára,
hogy értelmezhető legyen x=3-ra úgy,
hogy valami értelmezhető eredményt kapjunk?
Ah ilyen polinomokat látok mint ez a kettő itt,
akkor közelebbről megvizsgálva őket, viszonylag egyszerűen
felbonthatóak, szeretem tényezőkre bontani, mert lehet,
ugyanazt a tényezőt találjuk a számlálóban és nevezőben,
amivel egyszerűsíthetjük a kifejezést.
Szóval, ez megegyezik az,
x meg 3 -- nem, nem nem --, x mínusz 3.
Ez x mínusz 3.
Ez úgy néz ki, mint az x mínusz 3, a négyzeten,
de inkább azt írjuk x mínusz 3, szorozva x mínusz 3-mal,
ami természetesen x mínusz 3, a négyzeten.
És akkor a nevezőben, tudod hogyan kell felbontani ezeket,
ez x meg 3, szorozva x mínusz 3-mal, rendben?
Szóval itt a határérték, ahogy x tart a 3-hoz ebben a kifejezésben,
ez ugyanaz mint ez a határérték, ahogy x tart a 3-hoz
ebben a kifejezésben.
Természetesen semmit nem tehetünk azzal a ténnyel,
hogy ez a függvény, vagy ez a kifejezés,
nem értelmezett az x=3 helyen.
De tudjuk egyszerűsíteni, és kideríthetjük,
hogy mihez tart.
Szóval feltételezzük, hogy bármely x-re ami nem 3,
ezeket kiejthetjük, mert ezek nem lesznek 0-k. Igaz?
Ez csak akkor 0, ha x=3 -- így a számlálóban
és a nevezőben ezekkel egyszerűsíthetünk.
Aztán mondhatjuk -- nem leszek nagyon szigorú itt,
de ez olyan valami, amit így is fel lehet fogni, gondolom kezded
felkapni a fonalat -- ez ugyanaz, mint a határértéke az x mínusz 3,
per x plusz 3, miközben x tart a 3-hoz.
Most pedig próbáljuk meg behelyettesíteni az x-et, és lássuk mit kapunk.
A számlálóban lesz, 3 mínusz 3.
ez még mindig 0.
De a nevezőben itt, 6-ot kapunk. Igaz?
3 meg 3, az 6.
Most már egy jó számot kapunk.
0 vagy inkább 6. ez egy valós szám, ez 0.
0/6, az 0.
Ez érdekes volt.
Amikor először megoldottuk, 0/0 volt az eredmény.
És most, hogy egyszerűsítettük, 0-t kaptunk eredményként.
Nagyon fontos megjegyezni,
a kifejezés nincs értelmezve x=3-ra.
Minden máshol értelmezve van, de ha felrajzoljuk,
és javaslom, hogy tedd meg, láthatod, ahogy egyre közelítesz
az x=3 helyhez, a függvényértéke ennek
a kifejezésnek közelít a 0-hoz.
Tudom, hogy most gondolkodóba estél.
Ez 0/0 volt.
Minden alkalommal amikor 0/0-t kapok, az 0 lesz a határértéknél,
amikor megvizsgálom a kifejezést?
Nézzük meg ezt közelebbről.
Hadd töröljem ezt le.
Mennyi a határérték -- megint nem működik a tollam --,
ahogy az x tart az 1-hez, az x négyzet, mínusz x, mínusz 2,
Nem inkább x négyzet, meg x, meg 2...
Látod? Ezt mind fejben csinálom,
és néha hibázok.
Ez mind, per x mínusz 1.
Ha csak megvizsgáljuk,
lássuk mennyit kapunk, ha x=1.
1 négyzet, meg 1, ez 2, mínusz 2.
0/0-t kapsz.
Megint 0/0-t kaptunk, és valamit csinálnunk kell,
mondjuk egyszerűsítsük.
Bontsuk fel a felsőt.
Ez megegyezik a határértékével -- ahogy x tart az 1-hez --
az x mínusz 1, szorozva x meg 2-vel, igaz?
Azt hiszem, gyakran felfedezheted ha sok határérték
feladatod csinálsz, hogy a felső tényezőket, vagy kifejezéseket
nehéz felbontani, de van esély, hogy megtaláld
a nevezőben, ami miatt az egész kifejezés
nem értelmezhető.
Néha még bonyolultabb dolgot kapsz,
amit még nehezebb tényezőkre bontani, de jó kiindulópont
megtalálni olyan tényezőt, ami a nevezőben is benne van,
mert ez a trükk ezekben a feladatokban,
hogyan egyszerűsítsd a kifejezést.
Ha feltételezzük, hogy x nem egyenlő 1-gyel,
és ez a kifejezés nem nulla, és ez sem lesz 0,
akkor ezekkel egyszerűsíthetünk.
És akkor ezt kapjuk, ami megegyezik a határértékével -- ahogy
x tart az 1-hez -- az x meg 2-vel.
Ez viszont tényleg egyszerű.
Mennyi határértéke az x meg 2-nek, ha x tart az 1-hez?
Csak be kell helyettesítened az 1-et oda, és megkapod a 3-at.
Ez érdekes.
Amikor megpróbáltuk értelmezni a kifejezést
az x=1 helyen, 0/0-t kaptunk.
És az előző példában láttuk, hogy ez megoldható volt,
amikor egyszerűsítettük, és nullát kaptunk. És ebben a példában 3-at kaptunk.
Arra biztatlak, ha van grafikus számológéped,
rajzoltasd ki ezeket a függvényeket amiket csinálunk,
és nézd meg, hogy igaz-e, ahogy a határhoz közelítesz,
mondjuk x=1, a függvényérték közelít-e
a határértékhez, amit kiszámítottunk.
Aztán találj ki saját példákat.
A pokolba is, hiszen pont ezt csinálom.
Aztán bebizonyíthatod magadnak.
Csináljunk egy másikat.
Csináljunk olyat, amit elég érdekesnek gondolok.
Mennyi a határértéke, miközben x tart a végtelenhez...
Mennyi a határértéke, ahogy x tart a végtelenhez,
mondjuk az x négyzet meg 3, per, x a harmadikonnak?
Én úgy gondolkodok ezeknél a feladatoknál, amik a végtelenbe tartanak,
hogy mit kapunk, amikor választunk egy
nagyon, nagyon, nagyon, nagyon nagy értéket az x-nek.
Ez egy kis csalás ha így csináljuk, ha van számológéped,
de ha nincs számológéped,
írj be egy óriási számot ide.
Nézd meg, mi lesz az eredmény, ha x egymillió, nézd meg,
x egyenlő milliárdra, nézd meg mennyi ha x csilliárd,
remélem érted mire akarok kilyukadni.
Meg fogod látni -- ha van határérték itt,
akkor meglátod merre tart.
De ahogy én szoktam ezekről gondolkodni, a számlálóban
a leggyorsabban növekvő rész, az x négyzet. Igaz?
Ez növekszik a leggyorsabban itt.
A nevezőben mi a leggyorsabban növekvő összetevő?
Nos a nevezőben, a leggyorsabban növekvő összetevő
az x a harmadikon.
Mi fog gyorsabban nőni,
x a négyzeten, vagy x a harmadikon?
Az x a harmadikon sokkal gyorsabban nő,
mint az x a négyzeten.
A nevező, ahogy egyre nagyobb, és nagyobb, és nagyobb
értéket vesz fel x, sokkal gyorsabban nő, mint a számláló.
Gondolhatod, ahogy a nevező sokkal, sokkal, sokkal
gyorsabban nő, mint a számláló,
ahogy az egyre nagyobb számok felé mész,
úgy kapsz egyre kisebb és kisebb eredményt. Igaz?
Ez a nullához fog tartani.
Ha a végtelenhez tartasz, akkor ez a 0-hoz tart.
Tudom, hogy ez ilyen felteszem a kezem a levegőbe,
de így lehet ezt elképzelni.
Másik módja, hogy megoldjad, ha
elosztod ezt a törtet.
Eloszthatod ezt a racionális kifejezést,
és valami olyasmit kapsz, mint az 1/x, meg valami, meg valami,
meg valami, és akkor látod, hogy ó,
ahogy az x tart a végtelenbe az 1/x-re, az szintén a nullához tart.
Csináljunk még egyet.
Gyorsan csinálom, hogy összezavarjalak.
Az x tart a végtelenbe, a 3x négyzet meg x,
per 4x mínusz 5-re.
Ezek a problémák először zavarosnak tűnnek,
de igazából nagyon könnyűek.
Csak el kell gondolni, mi történik akkor,
ha x valami nagyon nagy értéket vesz fel.
Ahogy x tényleg óriási értéket vesz fel, ezek a kis összetevők,
ezek itt, nem nőnek olyan gyorsan mint ezek a nagy összetevők,
és majdnem nem számítanak semmit, igaz?
Mert itt hatalmas számokat kapsz a nagy x-ekre.
Ebben az esetben, ezek nem számítanak,
és akkor ez a két x-es kifejezés azonos ütemben növekszik. Igaz?
És ezek mindig, ugyanolyan mértékben nőnek,
ami itt 3/4.
A határérték ennyire egyszerű volt.
Ez 3/4.
Azt csináltad, hogy megállapítottad,
melyik a leggyorsabban növekvő rész felül, melyik a leggyorsabban növekvő
rész alul, és meghatároztad merre tartanak.
Ha ezek ugyanazok az összetevők, akkor kioltják egymást,
és mondhatjuk, hogy a határérték a 3/4-hez tart.
Ez nem egy nagyon szigorú módja a megoldásnak,
de elvezet a helyes válaszhoz.
Találkozunk a legközelebbi előadáson.